基于椭圆与超椭圆 $\sigma$ 函数的非线性 Schrödinger 方程

已知非线性 Schrödinger 方程的椭圆函数解可简化为基于 Weierstrass sigma 函数的代数微分关系，即 $\displaystyle{ \left[-{\frak{i}}\frac{\partial}{\partial t} +\alpha \frac{\partial}{\partial u}\right]\Psi -\frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\Psi +(\Psi^* \Psi) \Psi = \frac12 (2\beta+\alpha^2-3\wp(v))\Psi }$，其中 $\Psi(u;v, t):=\mathrm{e}^{\alpha u+{\frak{i}}\beta t+c}$ $\displaystyle{\frac{\mathrm{e}^{-\zeta(v)u}\sigma(u+v)}{\sigma(u)\sigma(v)}}$，其对偶 $\Psi^*(u; v,t)$，以及某些复数 $\alpha, \beta$ 和 $c$。在本文中，我们将该代数微分关系推广至基于超椭圆 sigma 函数的亏格二与亏格三情形。