$F$-阈值的非离散性

我们给出二维正规 ${\mathbb Q}$-Gorenstein 分次域的例子，其中极大理想的 $F$-阈值集合不是离散的，从而回答了 Musta\c{t}\u{a}-Takagi-Watanabe 的一个问题。我们还证明，对于特征为 $0$ 的域上的二维标准分次域 $(R, {\bf m})$，带分次理想 $I$，若 $({\bf m}_p, I_p)$ 是 $({\bf m}, I)$ 的模 $p$ 约化，则 $c^{I_p}({\bf m}_p) \neq c^I_{\infty}({\bf m})$ 蕴含 $c^{I_p}({\bf m}_p)$ 的分母含有 $p$。