非退化 $2 \times k \times (k+1)$ 超矩阵

我们构造了高斯消元法的一种推广，以证明若 $\mathbb{F}$ 是拓扑域，则 $GL_k(\mathbb{F}) \times GL_{k+1}(\mathbb{F})$ 的一个自然商在 $\mathbb{F}$ 上具有非零超行列式的 $2 \times k \times (k+1)$ 超矩阵集合 $M_k(\mathbb{F})$ 上存在传递、自由且连续的作用。我们利用此作用回答了若干问题，包括确定 $M_k(\mathbb{C})$ 的同伦群，对 $M_k(\mathbb{F}_q)$ 的元素进行计数（推广了 Lewis 和 Sam 的一个未发表结果），以及在 $O(k^4)$ 时间内计算 $2 \times k \times (k+1)$ 超矩阵的超行列式，我们借此在某些特殊情形下计算出显式公式。