非交换 Painlevé 方程与 Calogero 型系统

所有 Painlevé 方程均可写为含时 Hamilton 系统，因此它们可以自然地推广至具有 Calogero 型（有理、三角或椭圆）相互作用的多个粒子的情形。最近，这些相互作用粒子系统已被证明与 $\beta$-模型的研究相关。Takasaki 提出了一个近二十年的开放性问题，即这些多粒子系统是否可以被理解为等单值方程，从而推广 Painlevé 对应。在本文中，我们通过显式地给出合适的等单值 Lax 对表述给出了肯定的回答。作为等单值表示的应用，我们提供了一种基于离散 Schlesinger 变换的构造，从非耦合的解出发，为这些系统在耦合常数为特殊值时生成解；该方法以第二 Painlevé 方程的情形为例进行了说明。