非交换 del Pezzo 曲面与 Calabi-Yau 代数

具有 $E_r$ ($r=6,7,8$) 型孤立拟齐次椭圆奇点的 3 维向量空间中的超曲面具有自然的 Poisson 结构。我们证明了相应 $E_r$ 型的 del Pezzo 曲面族提供了该 Poisson 结构的半万有 Poisson 形变。我们还构造了此类 del Pezzo 曲面坐标环的形变量子化。为此，我们首先将多项式代数 $\mathbb{C}[x,y,z]$ 形变为一个非交换代数，其生成元为 $x,y,z$，并满足以下 3 个关系（其中 $[u,v]_t = uv- t.vu$）：$[x,y]_t=F_1(z)$, $[y,z]_t=F_2(x)$, $[z,x]_t=F_3(y)$。这给出了一族 Calabi-Yau 代数 $A(F)$，由复数 $t$ 和一个三元组 $F=(F_1,F_2,F_3)$ 参数化，其中 $F_i$ 是具有特定选定次数的单变量多项式。我们对 del Pezzo 曲面坐标环的量子化由形式为 $A(F)/(g)$ 的非交换代数提供，其中 $(g)$ 表示由中心元 $g$ 生成的 $A(F)$ 的理想，若 $F$ 足够一般，则 $g$ 生成代数 $A(F)$ 的中心。