KdV 方程的非自治对称与阶梯状解

我们研究由非交换子代数中对称的驻立方程所控制的 KdV 方程解,即主对称与标度对称的线性组合。所研究的约束等价于一个具有两个首次积分的六阶非自治常微分方程。其通解在直线 $t=0$ 上具有奇异性。正则性条件选取了一个 3 参数解族,该解族描述 $u=1$ 附近的振荡,并且在 $t=0$ 时满足等价于退化 $P_5$ 方程的方程。数值实验表明,在该族中可区分出一个两参数子族,即分离线阶梯状解,其在 $x\to\pm\infty$ 时以幂律方式趋于不同常数。这为 Gurevich--Pitaevskii 关于初始间断衰变问题提供了一个精确解例子。