余维数为三的非阿贝尔 Yang-Mills-Higgs 理论与 Plateau 问题

我们研究了 $\mathrm{SU}(2)$-Yang-Mills-Higgs 能量 $E(\Phi,A)=\int_M|d_A\Phi|^2+|F_A|^2$ 在大质量极限下的渐近行为，证明了在 De Giorgi 的 $\Gamma$-收敛意义下向余维数为三的面积泛函的收敛。更确切地说，对于具有边界的紧流形 $M$ 以及由趋于无穷的质量参数 $m$ 索引的任意对族 $\Phi_m\in\Omega^0(M;\mathfrak{su}(2))$ 和 $A_m\in \Omega^1(M;\mathfrak{su}(2))$，若满足 $$E(\Phi_m,A_m)\leq Cm\quad\text{and}\quad\lim_{m\to\infty}\frac{1}{m}\int_M(m-|\Phi_m|)^2=0,$$ 我们证明与 $\frac{1}{2\pi m}\mathrm{tr}(d_{A_m}\Phi_m\wedge F_{A_m})$ 对偶的 $(n-3)$-流子序列收敛到一个相对积分 $(n-3)$-闭链 $T$，其质量满足 \begin{equation} \mathbb{M}(T)\leq \liminf_{m\to\infty}\frac{1}{4\pi m}E(\Phi_m,A_m), \end{equation} 并且反向证明，任何满足 $[T]=0\in H_{n-3}(M,\partial M;\mathbb{Z})$ 的积分 $(n-3)$-流 $T$ 都允许这样的逼近，且上述不等式取等号。在满足广义单极子方程 $*d_{A_m}\Phi_m=F_{A_m}\wedge \Theta$（对于校准形式 $\Theta\in \Omega^{n-3}(M)$）的对 $(\Phi_m,A_m)$ 的特殊情况下，我们推导出 Dirichlet 能量测度的极限 $\nu=\lim_{m\to\infty}\frac{1}{2\pi m}|d_{A_m}\Phi_m|^2$ 满足 $\nu\leq |T|$，当且仅当 $T$ 被 $\Theta$ 校准时取等号，这为 $G_2$-流形和 Calabi-Yau 3-流形背景下的 Donaldson-Segal 预测提供了证据。