非阿贝尔涡旋的几何与能量

我们在$\Sigma\times S^2$上研究纯杨-米尔斯理论，其中$\Sigma$是紧致黎曼曲面，并假设在$S^2$的旋转下具有不变性。众所周知，该设定下的自对偶方程简化为$\Sigma$上的涡旋方程。如果杨-米尔斯规范群是$\SU{2}$，则得到阿贝尔希格斯模型的Bogomolny涡旋方程。对于更大的规范群，通常会发现涉及多个矩阵值希格斯场的涡旋方程。这里我们关注规范群为$\SU{N}/\ZZ_N$的杨-米尔斯理论，以及一种特殊的约化，该约化仅产生一个非阿贝尔希格斯场。这种约化的一个新特点是，虽然四维理论中的瞬子数通常是分母为$N$的分数，但我们在约化理论中仍然得到一个整数涡旋数。我们在丛几何层面上阐明了这两个拓扑荷之间的关系。另一个显著特征是在$\Sigma$上约化理论能量的非平凡下界和上界的出现。这些界限与$\Sigma$的面积成正比。我们通过将阿贝尔希格斯模型的解嵌入非阿贝尔理论，给出了$\Sigma$上理论的特殊解，并将我们的工作与箭图丛的语言联系起来，后者最近在杨-米尔斯理论维数约化的研究中被证明是富有成效的。