$\mathrm{SU}(2)$ 格点 Yang-Mills-Higgs 理论的标度极限

作为格点 Yang-Mills 理论的标度极限或以其他方式构造四维非阿贝尔欧几里得 Yang-Mills 理论，是数学物理中的一个核心开放问题。本文朝此目标迈出了以下微小的一步。在任意维度 $d\ge 2$ 下，我们构造了与在 $\mathrm{SU}(2)$ 的基础表示下变换的 Higgs 场（在退化势下）耦合的 $\mathrm{SU}(2)$ 格点 Yang-Mills 理论的标度极限。在幺正规范固定并取格距 $\varepsilon\to 0$ 后，同时取规范耦合常数 $g\to 0$ 和 Higgs 长度 $\alpha\to \infty$，使得 $\alpha g$ 始终等于 $c\varepsilon$（对于某个固定的 $c$）且 $g= O(\varepsilon^{50d})$，证明了规范场的球极平面投影收敛于一个有质量的高斯场。这给出了高于二维情形下非阿贝尔格点 Yang-Mills 理论标度极限的首次构造，也是此类理论中 Higgs 机制产生质量的首次严格证明。对 $\mathrm{U}(1)$ 理论也证明了类似结果。构造非高斯标度极限的问题仍然开放。