非平凡矩阵作用保持连分数的正规性

Wall的一个开创性结果指出，若$x$对给定基数$b$是正规的，则对于任意满足$r\neq 0$的有理数$r,s$，$rx+s$也是正规的。我们证明，对于连分数展开的正规性，一个更强的结果成立。具体而言，假设$a,b,c,d\in \mathbb{Z}$且$ad-bc\neq 0$。那么若$x$是连分数正规的，则$(ax+b)/(cx+d)$也是。