乘法 Diophantine 近似中的非 Salem 集合

本文回答了 Cai-Hambrook 在 (arXiv$: 2403.19410) 处提出的问题。此外，我们计算了乘法$\psi$-良好可达集的傅里叶维数$$M_2^{\times}(\psi)=\left\{(x_1,x_2)\in [0,1]^{2}\colon \|qx_1\|\|qx_2\|<\psi(q) \text{ for infinitely many } q\in \N\right\},$$其中$\psi\colon\N\to [0,\frac{1}{4})$是满足$\sum_q\psi(q)\log\frac{1}{\psi(q)}<\infty$的正函数。作为一个推论，我们表明集合$M_2^{\times}(q\mapsto q^{-\tau})$对$\tau>1$ 为非 Salem 集合。