基于球塌缩的 $f(R)$ 引力中密度-速度非线性动力学

我们利用光滑、补偿性的球形顶帽密度分布作为非线性区域的代理模型，研究了 $f(R)$ 引力中的密度-速度联合演化。以 Hu-Sawicki 模型为例，采用迭代混合拉格朗日-欧拉格式求解耦合的连续性方程、欧拉方程和爱因斯坦方程。该格式的新颖之处在于度规势是在欧拉坐标系中解析求解的。演化假定在极早期遵循广义相对论（GR），并在预定时刻切换到 $f(R)$。切换时刻选得过早会因高频振荡而计算代价高昂；选得过晚则可能破坏与 $\Lambda$CDM 的一致性。为做出明智选择，我们对背景模型进行特征值分析，从而给出振荡量级的大致估计。问题中存在两个长度尺度：相关标量场的共动康普顿波长与顶帽宽度。演化由二者之比决定。当比值较大时，演化与尺度无关，密度-速度散度关系（DVDR）是唯一的。当比值较小时，演化非常接近 GR，除了在顶帽边缘形成尖峰——这一特征在早先文献中已被指出。在无变色龙机制的情况下，我们能够根据度规势的解析解定性解释该特征。在中间区域，演化依赖于剖面，不存在唯一的 DVDR。