以相似于 $J_n(1)$ 的矩阵为基的非扩张矩阵数系

我们研究以矩阵基 $M$ 与向量数字表示整向量的数系。我们聚焦于 $M$ 相似于 $J_n$（大小为 $n$ 的 $1$ 的 Jordan 块）的情形。若 $M=J_2$，我们分类了允许表示整个 $\mathbb{Z}^2$ 的大小为 2 的数字集。对于 $n\geq 3$ 的 $J_n$，表明三个数字足以表示所有 $\mathbb{Z}^n$。对于相似于 $J_n$ 的基，除 $n=1$ 外至多需 $n$ 个数字。此外，以 $M=J_2$ 与数字 $(0,\pm 1)^T$ 表示零向量的字符串语言被证明不是上下文无关的，但可被具有对数内存的图灵机识别。