非交换解作为奇异 Calabi–Yau 簇的镜像

已有猜想认为，规范线性 sigma 模型（GLSM）中的半球配分函数 arXiv:1308.2217, arXiv:1308.2438 计算了 Calabi–Yau（CY）流形上凝聚层有界导出范畴中对象的中心电荷 arXiv:math/0212237。在 arXiv:alg-geom/9511001, arXiv:hep-th/0007071 中也有相关证据。另一方面，奇异 CY 簇的非交换解已在阿贝尔 GLSM 的背景下被研究 arXiv:0709.3855。在本文中，我们研究阿贝尔 GLSM 用于非交换解的类似构造，并提出它们可用于研究一类最近发现的奇异 CY 簇镜像对。我们的主要结果表明，新 GLSM 中的半球配分函数（亦称 $A$-周期）实际上是奇异 CY 簇的周期积分（亦称 $B$-周期）。我们猜想二者完全等价：$B$-周期与 $A$-周期相同。我们给出一些例子支持该猜想，并表述了 GLSM 理论与 CY 之间某些预期的同调镜像对称（HMS）关系。如 arXiv:2003.07148 所示，此情形下的 $B$-周期恰由 arXiv:alg-geom/9511001 中 $B$-级数的某种分数版本给出。由于半球配分函数定义为复化次级扇（或 FI-theta 参数空间）中一个锥内的围道积分 arXiv:1308.2438，它可化为留数之和（由 Passare-Tsikh-Zhdanov 与 Tsikh-Zhdanov 定理）。我们的猜想表明，该留数和现在或可借助 $B$-级数进行计算。