有限消失阶光滑函数的节点集与p-Sweepouts

我们证明，在紧黎曼流形$(M,g)$上，任意$p+1$个光滑函数的线性组合的节点集构成一个可容许的$p-$扫掠（p-sweepout），只要这些线性组合具有一致有界的消失阶。这尤其适用于拉普拉斯特征函数的有限线性组合。由此，我们得到了Gromov、Guth、Marques--Neves关于$M$的极小极大$p$-宽度上界的新证明。我们还证明，在$\mathbb{R}^{n+1}$上光滑函数消失到$k$阶的点附近，其节点集包含于某个$p>1$的$k$个$W^{1,p}$图的并集中。这意味着节点集是局部可数$n$-可求长的，且具有局部有限的$\mathcal{H}^n$测度，这些事实也由B"{a}r先前的结果推出。最后，我们证明了热流下节点集的豪斯多夫测度的连续性。