带有不相交循环的图的随机签号的节点计数

设 $G$ 为具有 $n$ 个顶点的简单、连通图，且 $G$ 包含不相交的循环。设 $h$ 为支撑于 $G$ 上的实对称矩阵（例如，离散 Schr"odinger 算子）。矩阵 $h$ 的特征值依次从小到大排序为 $\lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n$，若 $\phi$ 为对应于 $\lambda_k$ 的特征向量，则节点（边）计数 $\nu(h,k)$ 为满足 $h_{rs}\phi_{r}\phi_{s}>0$ 的边 $(rs)$ 的个数。节点剩余量定义为 $\sigma(h,k)= \nu(h,k) - (k-1)$。设 $h'$ 为 $h$ 的随机签号，即从 $h$ 通过改变部分非对角元素的符号得到的实对称矩阵。如果 $h$ 满足某些常规条件，我们证明对每个 $k$，节点剩余量服从二项分布 $\sigma(h',k)\sim Bin(\beta,\frac{1}{2})$。本证明的部分思路源自首位作者与 Ram Band 以及 Gregory Berkolaiko 在旁未发表的合作项目中 developing 的想法，该项目研究了类似问题在量子图上的情况。