Nil Bohr集与高阶几乎自同构

本文研究了两个密切相关的话题：高阶Bohr集和高阶几乎自同构。两者都与幂零系统有关。第一部分研究了一个可视为Bohr集旧问题的高阶版本的问题：对于任意$d\in {\mathbb N}$，集合$\{n\in {\mathbb Z}: S\cap (S-n)\cap\ldots\cap (S-dn)\neq \emptyset\}$（其中$S$是syndetic集）的全体是否与Nil$_d$ Bohr$_0$-集的全体一致？证明了Nil$_d$ Bohr$_0$-集可以通过广义多项式来刻画，并且应用这一结果，问题的一侧得到了肯定回答：对于任意Nil$_d$ Bohr$_0$-集$A$，存在一个syndetic集$S$使得$A\supset \{n\in {\mathbb Z}: S\cap (S-n)\cap\ldots\cap (S-dn)\neq \emptyset\}$。此外，表明问题的另一侧的答案可以从Bergelson-Host-Kra的一个结果中推导出来，如果模一个零密度集。第二部分引入并研究了$d$步几乎自同构系统（$d\in{\mathbb N}\cup\{\infty\}$）的概念，这是经典几乎自同构系统的推广。值得一提的是，一些关于高阶Bohr集的结果将被应用于研究。对于极小拓扑动力系统$(X,T)$，证明了$x\in X$是$d$步几乎自同构的条件可以通过$\mathbb Z$的各种子集来刻画，包括$d$步Poincaré和Birkhoff回归集的对偶集，以及Nil$_d$ Bohr$_0$-集。此外，还发现$(x,y)\in X\times X$是$d$阶区域近端的条件也可以通过$\mathbb Z$的各种子集来刻画。