Maass 波形形式空间中 Hecke 算子作用的新模型

利用 Poisson 变换理论，我们针对同余子群 $\Gamma_1(N)$ 上特征值为 $1/4-\lambda^2$ 的 Maass 形式空间 $M_{\lambda}(N)$ 中的 Hecke 理论，发展了一些新的具体模型。我们引入域 $F_{\lambda} = {\mathbb Q} (\lambda ,\sqrt{n}, n^{\lambda /2} \mid \~n\in {\mathbb N})$，使得当 $\lambda = 0$ 时 $F_{\lambda}$ 完全由代数数组成。本文的主要结果如下。对于在 $M_{\lambda}(N)$ 中出现的 Hecke 特征值包 $\Phi = (\nu_p \mid p\nmid N)$，我们有：要么每个 $\nu_p$ 在 $F_{\lambda}$ 上代数，要么对于某个 $m\in {\mathbb N}$，$\Phi$ 会出现在某一空间 $W_{\lambda,m}$ 的第一上同调中，而该空间是由单位圆上的连续函数构成，并带有 $\mathrm{SL}_2({\mathbb R})$ 的作用——这一作用在 $\mathrm{SL}_2({\mathbb R})$ 的（非酉）主表示理论中是熟知的。