Hilbert Maass 形式的 Hecke 与 Casimir 算子特征值的联合分布

设 $F$ 为全实数域，$\mathcal{O}_{F}$ 为整数环，$\mathfrak a$ 与 $\mathfrak I$ 为整理想，$\chi$ 为 $\mathbb{A}_F^\times/F^\times$ 的一个特征标。对 $\mathcal{O}_{F}$ 中每个素理想 $\mathfrak{p}$，$\mathfrak{p}\nmid \mathfrak{I}$，令 $T_{\mathfrak{p}}$ 为作用于 $L^2(\mathrm{GL}_{2}(F) \backslash \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{A}_F))$ 上 Maass 尖形式空间的 Hecke 算子。本文研究在每个阿基米德分支上，对 $1\le j \le d$，Hecke 算子 $T_{\mathfrak{p}}$ 与 Casimir 算子 $C_{j}$ 联合特征值的分布。概括地说，我们证明：给定当 $t \rightarrow \infty$ 时 $\mathbb{R}^{d}$ 中一族扩张紧子集 $\Omega_{t}$，以及区间 $I_{\mathfrak{p}} \subseteq [-2,2]$，若 $\mathfrak{p} \nmid \mathfrak{I}$ 在 $F$ 的窄类群中为平方元，则存在无穷多个自守形式，其 $T_{\mathfrak{p}}$ 的特征值落在 $I_{\mathfrak{p}}$ 中，并按 Sato-Tate 测度的多项式倍数在 $I_{\mathfrak{p}}$ 上分布，且其 Casimir 特征值落在区域 $\Omega_{t}$ 中，并按 Plancherel 测度分布。