神经算子在行人 mobility 中的复杂 PDE 学习困难：Hughes 模型案例研究

本文探讨了神经算子在学习Hughes模型解的局限性。该模型是行人拥挤 dynamics 的一阶双曲型守恒律系统，耦合表示行人密度的Fokker-Planck方程与Hamilton-Jacobi型（eikonal）方程。该Hughes模型属于非线性双曲型系统，常表现出包含冲击波和不连续性的复杂解结构。本研究评估了三种最先进的神经算子（傅里叶神经算子、小波神经算子和多小波神经算子）在各种具有挑战性情景下的性能。具体而言，我们考虑（1）不连续和高斯初始条件，（2）多样化的边界条件，同时也检查了不同数值方案的影响。我们的结果表明，这些神经算子在初始条件中冲击波较少的简单情景中表现良好，但在初始条件存在多个冲击波且具有动态边界条件的复杂情景中仍然困难，即使针对此类复杂样本进行训练。预测的解常常显得更平滑，导致总体变小和重要物理特征的丢失。这种平滑行为类似于Daganzo（1995）中讨论的情形，即引入人工扩散的模型会遗漏双曲型系统中冲击波等关键特征。这些结果表明，当前的神经算子架构可能引入意外的正则化效应，限制其捕捉由不连续性支配的运输动力学的能力。它们也对将这些方法推广到需要保持冲击波的交通应用提出了疑虑。