有界孪生宽度图的邻域复杂度

我们给出了 $\nu(d,k)$ 的基本紧界，即孪生宽度不超过 $d$ 的图中，在 $k$ 个顶点集合 $X$ 上不同邻域的最大数目。借助著名的 Marcus–Tardos 定理，两项独立工作 [Bonnet 等, Algorithmica '22; Przybyszewski '22] 已给出上界 $\nu(d,k) \leqslant \exp(\exp(O(d)))k$，其对孪生宽度具有双指数依赖。文献 [Gajarsky 等, ICALP '22] 利用局部类型框架，暗示了单指数界的存在（但未明确给出该界）。我们给出了这样一个显式界，并证明其基本紧。事实上，我们给出一个简短自洽的证明：对任意 $d$ 和 $k$，$$\nu(d,k) \leqslant (d+2)2^{d+1}k = 2^{d+\log d+\Theta(1)}k,$$ 并构造了一个二部图，在 $k$ 相对 $d$ 足够大时给出 $\nu(d,k) \geqslant 2^{d+\log d+\Theta(1)}k$。