广义 KdV 与 mKdV 族的负流及其规范-Miura 变换

KdV 族是可积系统背后丰富数学结构的一个范例，并在理论物理的多个领域有深远联系。虽然 KdV 族的正流部分已为人熟知，本文中我们考虑其负部分的仿射李代数构造。我们表明，原始的 Miura 变换可推广为一种规范变换，它隐含了 KdV 与 mKdV 族负流之间若干新型关系。与正流不同，这种“规范-Miura”对应变得退化，即不止一个负 mKdV 模型被映射到单个负 KdV 模型。例如，sine-Gordon 和另一个负 mKdV 流被映射到一个单一的负 KdV 流，该流继承了前两个模型的解。规范-Miura 对应意味着这些族的解具有丰富的退化性。我们对用仿射李代数 $\widehat{s\ell}(r+1)$ 构造的广义 KdV 和 mKdV 族得到了类似结果。在此情形下，第一个负 mKdV 流对应于仿射 Toda 场论，而规范-Miura 对应给出了其 KdV 对应物。特别地，我们显式给出了 Tzitz\'{e}ica-Bullough-Dodd 模型的 KdV 类比。简而言之，我们揭示了可积系统负流的丰富数学结构，获得了新的关系与可积系统。