显式 Runge-Kutta 方法强稳定性的充要条件

强稳定性是 ODE 时间积分格式的一种性质，它在任意（内积）范数下保持解的时间单调性。本文证明，对于线性自治 ODE 系统，具有 $s=p$ 级、阶为 $p\in 4\mathbb{N}$ 的显式 Runge–Kutta 格式不是强稳定的，从而解决了 [Z.~Sun and C.-W.~Shu, SIAM J. Numer. Anal. 57 (2019), 1158--1182] 中提出的一个开放性稳定性问题。此外，对于阶为 $p\in\mathbb{N}$ 且级数 $s>p$ 的显式 Runge–Kutta 方法，我们证明了强稳定性的若干充分条件与必要条件。这些条件同时涉及稳定性函数与 ODE 系统矩阵的次 coercive 指数。该指数是结合系统矩阵的 Hermitian 部分与斜 Hermitian 部分的一种结构性质。