近最优的鲁棒子空间跟踪

本文研究鲁棒子空间跟踪（RST）问题，并给出了该问题首批两个可证明保证之一。RST 的目标是跟踪顺序到达的、位于缓慢变化的低维子空间中的数据向量，同时对加性稀疏异常值的破坏具有鲁棒性。它也可被解释为鲁棒 PCA（RPCA）的动态（时变）扩展，微小区别在于 RST 还要求较短的跟踪延迟。我们开发了一种递归投影压缩感知算法，称之为通过 ReProCS 实现的近最优 RST（ReProCS-NORST），因为其跟踪延迟近乎最优。我们证明，在弱化的标准 RPCA 假设、两个简单的额外假设（缓慢的子空间变化和大多数异常值幅值有下界）以及若干次要假设下，NORST 可同时解决 RST 和动态 RPCA 问题。我们的保证表明，NORST 享有近最优的跟踪延迟 $O(r \log n \log(1/\epsilon))$。其在子空间变化时刻之间所需的延迟与此相同，其内存复杂度为该值的 $n$ 倍。因此这两者也都近乎最优。这里 $n$ 为环境空间维数，$r$ 为子空间维数，$\epsilon$ 为跟踪精度。与以往所有 RPCA 或 RST 方法相比，NORST 无论在理论上还是经验上（包括真实视频）都具有最佳的异常值容忍度，且不需要关于异常值支撑如何生成的任何模型。这得益于其所用的额外假设。