大但结构化噪声中的递归鲁棒 PCA 或递归稀疏恢复（第 1 部分和第 2 部分合并）

本研究探讨了递归鲁棒主成分分析（PCA）问题。如果异常值是感兴趣信号，则该问题可解释为在大但结构化噪声 $L_t$ 存在的情况下，递归恢复稀疏向量时间序列 $S_t$ 的问题。我们假设 $L_t$ 的结构是稠密的，且位于一个固定或变化“足够缓慢”的低维子空间中。该问题出现的一个关键应用是视频监控，其目标是即时分离缓慢变化的背景（$L_t$）与移动的前景物体（$S_t$）。为解决上述问题，我们在最近的工作中引入了一种称为递归投影压缩感知（ReProCS）的新颖解决方案。在本文中，我们开发并分析了原始 ReProCS 思想的一个简单修正版本。该修正版本假设已知 $L_t$ 的子空间变化模型。在温和假设以及对 $L_t$ 子空间未估计部分的稠密性假设下，我们以高概率（w.h.p.）证明，所提出的方法可以在所有时刻精确恢复 $S_t$ 的支持集；并且 $S_t$ 和 $L_t$ 的重建误差均以不随时间变化的小值为上界。在模拟实验中，我们观察到只要每隔几帧 $S_t$ 的支持集发生一些变化，最后一个假设就成立。