Pollard Rho 离散对数算法中碰撞的近最优界

我们分析了一种相当标准的 Pollard Rho 算法求循环群 G 中离散对数的理想化模型。发现以高概率在 $O(\sqrt{|G|\log |G| \log \log |G|})$ 步内发生一次碰撞，与广泛猜想的 $\Theta(\sqrt{|G|})$ 值相去不远。这改进了 Miller--Venkatesan 近期所得 $O(\sqrt{|G|}\log^3 |G|)$ 的上界。我们的证明基于分析长度为 |G|（奇数）的离散圈上的适当非可逆、非懒惰随机游走，并证明相应游走的混合时间为 $O(\log |G| \log \log |G|)$。