Kaluza 引理的多元版本

设 $d\in \mathbb{N}$，且 $f(z)= \sum_{\alpha\in \mathbb{N}_0^d} c_\alpha z^\alpha$ 为关于 $z=(z_1,\dots,z_d)$ 的收敛多元幂级数。本文给出正系数 $c_\alpha$ 的两个条件，其蕴含 $f(z)=\frac{1}{1-\sum_{\alpha\in \mathbb{N}_0^d} q_\alpha z^\alpha}$，其中 $q_\alpha$ 为非负系数。若 $d=1$，则我们的两个结果均化为 Kaluza 的一个引理。对于 $d>1$，我们给出例子说明这两个条件彼此独立。结果表明，形如 $$f(z)= \int_{[0,1]^d} \frac{1}{1-\sum_{j=1}^d t_j z_j} d\mu(t)$$ 的函数满足我们的其中一个条件，只要 $d\mu(t) = d\mu_1(t_1) \times \dots \times d\mu_d(t_d)$ 是 $[0,1]$ 上概率测度 $\mu_j$ 的乘积。我们的结果在 Nevanlinna-Pick 核理论中有应用。