D-有限性、有理性与高度 III：多元Pólya-Carlson二分性

我们证明了一个可视为多元D-有限幂级数（系数取自$\bar{\mathbb{Q}}$）的Pólya-Carlson定理类比的结果。在系数为代数整数的特殊情况下，我们的主要结果表明：若$$F(x_1,\ldots ,x_m)=\sum f(n_1,\ldots ,n_m)x_1^{n_1}\cdots x_m^{n_m}$$是一个含$m$个变量、系数为代数整数的D-有限幂级数，且$f(n_1,\ldots ,n_m)$的对数Weil高度为$o(n_1+\cdots +n_m)$，则$F$是有理函数，并且除标量乘法外，$F$分母的每个不可约因子都具有形式$1-\zeta x_1^{q_1}\cdots x_m^{q_m}$，其中$\zeta$是单位根，$q_1,\ldots ,q_m$为非负整数，且不全为零。