关于多个黎曼值与多个t值的最新猜想的证明

设r≥1为整数。对于任意多个指数s=(s_1,s_2,⋯,s_r)∈ℤ_{≥1}^r且s_r>1的指数，多个黎曼值（简称MZV）定义为：\n\nζ(s_1,s_2,⋯,s_r):=∑_{1≤k_1<k_2<⋯<k_r} 1/(k_1^{s_1}k_2^{s_2}⋯k_r^{s_r})\n\n多个t值定义为：\n\nt(s_1,s_2,...,s_r):=∑_{1≤k_1<k_2<⋯<k_r} 1/((2k_1-1)^{s_1}(2k_2-1)^{s_2}⋯(2k_r-1)^{s_r})，\n其中若指数为空，则定义值t(∅):=1。我们用{a_1,⋯,a_k}^d表示由重复序列{a_1,⋯,a_k}恰好d次形成的序列。设H(a,b)=ζ({2}^a,3,{2}^b)和T(a,b):=t({2}^a,3,{2}^b)。本文通过利用Lai-Lupu-Orr对H(a,b)和T(a,b)的积分表达式以及Beta函数与Gamma函数的性质，证明对任意非负整数a和b，都有：\n\nH(a,b):=−4π^{2a+2b+2}/(2a+2)! ∑_{n=0}^{∞} ζ(2n)/((2n+2a+2)(2n+2a+3)⋯(2n+2a+2b+3)2^{2n})\n\n以及：\n\nT(a,b):=−2/(2a+1)! (π/2)^{2a+2b+2} ∑_{n=0}^{∞} ζ(2n)/((2n+2a+1)(2n+2a+2)⋯(2n+2a+2b+2)2^{2n})。这确认了Lupu在[C. Lupu, Another look at Zagier's formula for multiple zeta values involving Hoffman elements, Math. Z. 301 (2022), 3127-3140]中提出的两个猜想。