多重 zeta 值与 Murakami 多重 t 值公式的另一种证明

设 $l\ge 1$ 为整数。对于任意指数 $\mathbf{s}=(s_1,s_2,\cdots,s_l)\in\mathbb{Z}_{\geq 1}^l$ 且 $s_l>1$，多重 zeta 值 (简称 MZV) 定义为 \begin{align*} \zeta(s_1,s_2,\cdots,s_l):=\sum_{1\leq k_1<k_2<\cdots<k_l} \frac{1}{k_1^{s_1}k_2^{s_2}\cdots k_l^{s_l}} \end{align*}，多重 $t$ 值定义为 \begin{align*} t(s_1,s_2,...,s_l):=\sum_{1\leq k_1<k_2<...<k_l} \frac{1}{(2k_1-1)^{s_1}(2k_2-1)^{s_2}...(2k_l-1)^{s_l}}, \end{align*} 其中若指数为空，则定义值 $t(\emptyset):=1$。我们记 $\{a_1,\cdots,a_k\}^d$ 为将序列 $\{a_1,\cdots,a_k\}$ 重复恰好 $d$ 次后形成的序列。设 $H(r,s)=\zeta(\{2\}^r,3,\{2\}^s)$ 和 $T(r,s):=t(\{2\}^r,3,\{2\}^s)$。Zagier 关于多重 zeta 值 $H(r,s)$ 的公式是 Hoffman 猜想证明中的关键要素。本文借助 Lei-Yu-Hong 对 $H(r,s)$ 和 $T(r,s)$ 的表达式，以及 Lupu 关于涉及 Riemann zeta 值 $\zeta(2n)$ 的有理 zeta 系列恒等式，联合若干关于二项式系数的恒等式及关于 Kronecker 符号和算术函数的结果，给出 Zagier 公式的另一种证明，表明对任意非负整数 $r$ 和 $s$，\begin{align*} H(r,s)=2\sum_{k=1}^{r+s+1}(-1)^k\Big[\binom{2k}{2r+2}-\Big(1-\frac{1}{2^{2k}}\Big) \binom{2k}{2s+1}\Big]\zeta(2k+1)\zeta(\{2\}^{r+s+1-k}), \end{align*} 以及 Murakami 关于多重 $t$ 值 $T(r,s)$ 的公式，断言 \begin{align*} T(r,s)=\sum_{k=1}^{r+s+1}(-1)^{k-1} \Big[\binom{2k}{2r+1}+\binom{2k}{2s+1}\Big(1-\frac{1}{2^{2k}}\Big)\Big] \frac{1}{2^{2k}}\zeta(2k+1) t(\{2\}^{r+s+1-k}). \end{align*}