高秩 Anderson 模型奇异谱的重数界

在这项工作中，我们证明了一类 Anderson 哈密顿量的奇异谱重数的一个界。该类算子是 Hilbert 空间 $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 上的 $H^\omega=\Delta+\sum_{n\in\mathbb{Z}^d}\omega_n P_n$，其中 $\Delta$ 是离散拉普拉斯算子，$P_n$ 是到 $\ell^2(\{x\in\mathbb{Z}^d:n_il_i<x_i\leq (n_i+1)l_i\})$ 上的投影（对于某些 $l_1,\cdots,l_d\in\mathbb{N}$），且 $\{\omega_n\}_n$ 是服从绝对连续分布的独立同分布实有界随机变量。我们证明奇异谱的重数上界为 $2^d-d$，且与 $\{l_i\}_{i=1}^d$ 无关。当对所有 $i$ 满足 $l_i+1\not\in 2\mathbb{N}\cup3\mathbb{N}$ 且对 $i\neq j$ 满足 $gcd(l_i+1,l_j+1)=1$ 时，我们还证明了奇异谱是简单的。