$\mathbb{R}^3$ 中非齐次 Schrödinger-Maxwell 系统的多重解

本文考虑以下非齐次 Schrödinger-Maxwell 系统：\n-\Delta u + u+\lambda\phi (x) u =|u|^{p-1}u+g(x),\ x\in \mathbb{R}^3,\ -\Delta\phi = u^2, \ x\in \mathbb{R}^3, \leqno{(SM)}\n其中 $\lambda>0$, $p\in(1,5)$ 且 $g(x)=g(|x|)\in L^2(\mathbb{R}^3)\setminus{0}$。对于 $p \in (1,3]$，似乎尚无关于问题 (SM) 多重解存在性的任何结果。本文中，我们发现存在一个常数 $C_p>0$，使得对于所有 $p\in(1,5)$，只要 $\|g\|_{L^2} \leq C_p$，问题 (SM) 至少有两个解，但仅当 $p\in(1,2]$ 时我们需要 $\lambda>0$ 足够小。此外，$C_p=\frac{(p-1)}{2p}[\frac{(p+1)S^{p+1}}{2p}]^{1/(p-1)}$，其中 $S$ 为 Sobolev 常数。