模 $p^4$ 的多重调和和 $\mathcal{H}_{\lbrace s\rbrace^{2l}=1;p-1}$ 及其应用

Wilson 关于阶乘的定理在 1900 年由 J.W.L. Glaisher 推广到模 $p^2$，在 2000 年由 Z-H. Sun 推广到模 $p^3$。本文更一般地研究多重调和和 $\mathcal{H}_{\lbrace s\rbrace^{2l}=1;p-1},2\leq 2l\leq p-1$ 模 $p^4$，并结合 Stirling 数 $\left[\begin{array}{l}\\;\;\;p\\2s-1\end{array}\right], 2\leq 2s\leq p-1$ 模 $p^4$，旨在将 Wilson、Glaisher 与 Sun 的结果推广到模 $p^4$。我们还将阶分别为 $p-1$、$p-3$ 与 $p-5$ 的三个除 Bernoulli 数卷积的 p-剩余拆为更小片段，并推广 Sun 关于某些阶 $p-1$ 广义调和数模 $p^4$ 的部分结果。