用于 Gibbs 近似的多层 Langevin 路径平均

我们提出并研究了一种基于（过阻尼）Langevin 扩散的新的多层方法，用于数值近似 $\mathbb{R}^d$ 上的 Gibbs 分布 $\pi$。该方法受 \cite{mainPPlangevin} 与 \cite{giles_szpruch_invariant} 启发，依赖于多层占据测度，即 $R$ 个步长分别为 $\gamma_r = \gamma_0 2^{-r}$（$r=0,\ldots,R$）的（定步长）Euler 格式的占据测度的适当组合。我们首先在一般假设下给出一个定量结果，保证在 $L^2$ 意义下的 \textit{$\varepsilon$-近似}，其代价在较弱收缩假设下为 $\varepsilon^{-2}$ 或 $\varepsilon^{-2}|\log \varepsilon|^3$ 阶。随后将其应用于具有强凸势 $U:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}$ 的过阻尼 Langevin 扩散，并在对 $U$ 的附加假设下得到阶为 ${\cal O}(d\varepsilon^{-2}\log^3(d\varepsilon^{-2}))$ 或 ${\cal O}(d\varepsilon^{-2})$ 的 \textit{$\varepsilon$-复杂度}。更精确地，至多差通用常数，参数的适当选取使得代价被 ${(\bar{\lambda}_U\vee 1)^2}{\underline{\lambda}_U^{-3}} d\varepsilon^{-2}$ 控制（其中 $\bar{\lambda}_U$ 与 $\underline{\lambda}_U$ 分别表示 $D^2U$ 最大与最小特征值的 supremum 与 infimum）。最后，我们以若干数值实验补充这些理论结果，包括与贝叶斯学习中其他算法的比较，并拓展至非强凸情形。