不变测度的加权多层 Langevin 模拟

我们研究了一种加权多层 Richardson-Romberg 外推法，用于扩散过程不变分布的遍历逼近，该方法改编自 [Lemaire-Pagès, 2013] 中针对常规 Monte Carlo 模拟所引入的方法。在第一个结果中，我们在扩散过程的弱汇合假设下证明，对于任意整数 $R\ge2$，该过程允许我们达到 $n^{\frac{R}{2R+1}}$ 的速率，而原始算法的收敛速率仅为弱速率 $n^{1/3}$。此外，这是在不产生渐近方差爆炸的情况下实现的。在第二部分中，在更强的汇合假设下，借助渐近误差的一些二阶展开，我们通过优化该方法所涉及的参数选择进行了更深入的研究。特别地，对于给定的 $\varepsilon\textgreater{}0$，我们给出了一些半显式参数，使得为达到低于 $\varepsilon^2$ 的均方误差所需的 Euler 格式迭代次数约为 $\varepsilon^{-2}\log(\varepsilon^{-1})$。最后，我们在多个示例上对该多层 Langevin 估计量进行了数值验证，包括简单的一维 Ornstein-Uhlenbeck 过程，以及由统计问题引发的高维扩散过程。这些示例证实了该方法的理论有效性。