与 McKean–Vlasov 方程相关的罕见事件的多层重要性采样

本工作将多层蒙特卡洛（MLMC）与重要性采样相结合，以估计可表示为一大类 McKean–Vlasov 随机微分方程解的 Lipschitz 观测量的期望的罕见事件量。我们将（Ben Rached 等，2023）中在此背景下引入的双循环蒙特卡洛（DLMC）估计量推广到多层设置。我们构造了一种新颖的多层 DLMC 估计量，并进行了全面的代价-误差分析，得到了新的且更优的复杂度结果。关键的是，我们设计了一种对偶采样器来估计层级差，保证了多层 DLMC 估计量相比单级 DLMC 估计量具有更低的计算复杂度。为处理罕见事件，我们在多层 DLMC 估计量的所有层级上应用了（Ben Rached 等，2023）中通过随机最优控制获得的重要性采样方案。将重要性采样与多层 DLMC 结合，相比不带重要性采样的单级 DLMC 估计量，将计算复杂度降低了一个数量级并大幅减小了相关常数。我们在统计物理的 Kuramoto 模型上以 Lipschitz 观测量说明了所提多层 DLMC 估计量的有效性，证实了复杂度从单级 DLMC 估计量的 $\mathcal{O}(\mathrm{TOL}_{\mathrm{r}}^{-4})$ 降至 $\mathcal{O}(\mathrm{TOL}_{\mathrm{r}}^{-3})$，同时可在规定的相对误差容限 $\mathrm{TOL}_{\mathrm{r}}$ 内给出罕见事件量的可行估计。