McKean–Vlasov 随机微分方程的双循环重要性采样

本文研究蒙特卡洛（MC）方法，以估计与 $d$ 维 McKean-Vlasov 随机微分方程（MV-SDE）解相关的稀有事件概率。MV-SDE 通常用随机相互作用的 $P$ 粒子系统来近似，该系统是一组 $P$ 个耦合的 $d$ 维随机微分方程（SDE）。重要性采样（IS）是降低稀有事件概率 MC 估计量高相对方差的常用技术。我们首先利用随机最优控制理论，推导出感兴趣量的零方差 IS 测度变换。然而，当此测度变换应用于随机粒子系统时，会产生一个 $P \times d$ 维偏微分控制方程（PDE），其求解在计算上代价高昂。为解决此问题，我们采用 [dos Reis 等人, 2023] 中引入的解耦方法，为解耦 SDE 的零方差估计量生成一个 $d$ 维控制 PDE。基于此，我们开发了计算高效的双循环 MC（DLMC）估计量。我们对 DLMC 估计量进行了全面的数值误差与工作量分析。结果表明，在达到规定的相对误差容限 $\mathrm{TOL}_{\mathrm{r}}$ 时，其最优复杂度为 $\mathcal{O}(\mathrm{TOL}_{\mathrm{r}}^{-4})$，且常数显著减小。随后，我们提出一种结合 IS 的自适应 DLMC 方法，以数值估计稀有事件概率，与无 IS 的标准 MC 估计量相比，在达到给定 $\mathrm{TOL}_{\mathrm{r}}$ 时大幅降低了相对方差与计算运行时间。数值实验在统计物理的 Kuramoto 模型上进行。