面向随机反应网络鲁棒高效多层蒙特卡洛估计器的重要性采样

由 Anderson 和 Higham 首次引入的连续时间马尔可夫链多层蒙特卡洛（MLMC）方法（SIAM Multiscal Model. Simul. 10(1), 2012）是一种高效的仿真技术，可用于估计随机反应网络（SRNs）尤其是随机生物系统的各种统计量。遗憾的是，多层方法的鲁棒性和性能会受到高峰度的影响，这一现象在 MLMC 深层观察到，导致样本方差估计不准确。本文中，我们处理高峰度现象由灾难性耦合（纯跳跃过程的特征，即耦合的连续路径在多数仿真中相同，差异仅出现在极小比例中）引起的情况，并引入一种路径依赖的重要性采样（IS）技术，以提升多层方法的鲁棒性和效率。我们的理论结果及数值实验表明，所提方法显著降低了 MLMC 深层的峰度，并将强收敛速率从标准情形（无 IS）的 $\beta=1$ 提升至 $\beta=1+\delta$，其中 $0<\delta<1$ 是我们 IS 算法中用户选定的参数。由于 MLMC 的复杂度定理，在给定预选容差 $\text{TOL}$ 下，复杂度从标准情形的 $\mathcal{O}\left(\text{TOL}^{-2} \log(\text{TOL})^2\right)$ 改善至 $\mathcal{O}\left(\text{TOL}^{-2}\right)$，即 MLMC 估计器的最优复杂度。我们以可忽略的额外代价实现了所有这些改进，因为我们的 IS 算法仅在每条仿真路径上应用少数几次。