多维 Heisenberg 卷积与多元 Laguerre 多项式的乘积公式

设 $p,q$ 为正整数。群 $U_p(\b C)$ 和 $U_p(\b C)\times U_q(\b C)$ 作为自同构群规范地作用在 Heisenberg 群 $H_{p,q}:=M_{p,q}(\b C)\times \b R$ 上，其中 $M_{p,q}(\b C)$ 是所有复 $p\times q$ 矩阵构成的向量空间。相关的轨道空间可分别等同于 $\Pi_q\times \b R$ 和 $\Xi_q\times \b R$，其中 $\Pi_q$ 为半正定矩阵锥，$\Xi_q={x\in\b R^q: x_1\ge...\ge x_q\ge 0}$ 为 Weyl 室。在本文中，我们显式计算了 $\Pi_q\times \b R$ 和 $\Xi_q\times \b R$ 上依赖于 $p$ 的相关卷积。此外，我们通过解析延拓将这些卷积推广为任意参数 $p\ge 2q-1$ 的卷积结构序列。对于 $q\ge 2$，这在 $\Pi_q\times \b R$ 上导出了非交换超群的连续序列，在 $\Xi_q\times \b R$ 上导出了交换超群的连续序列。在后一种情况下，我们用 $\Pi_q$ 和 $\Xi_q$ 上的多元 Laguerre 函数和 Bessel 函数描述了对偶空间。特别地，我们给出了 $\Xi_q$ 上这些 Laguerre 函数的一个非正乘积公式。本文扩展了 Koornwinder、Trimeche 等人已知的 $q=1$ 情形，以及 Faraut、Benson、Jenkins、Ratcliff 等人关于整数 $p$ 的群情形。此外，它与 R"osler 的多元 Bessel 函数及其他超几何函数的乘积公式密切相关。