多重测地线镶嵌、分数 Dehn 扭曲与代数曲线的单值化

将一组欧氏多边形的平行边等同起来，得到一个带锥点（角度为 2 pi 的倍数）的平曲面，它自然地是一个紧 Riemann 曲面，也是一个代数曲线，以及一个双曲曲面。一般地，曲面上的两个不同度量没有公共测地弧，但在特殊情形下该曲面被分解为对平度量和双曲度量均为测地多边形的多边形。某些由欧氏矩形作平移与半周转镶嵌的曲面即属此情形。本文对此进行探究。它们的多重测地线镶嵌提供了一种重构其 Fuchsian 群的机械方法；允许用 Fenchel-Nielsen 坐标描述其 Teichmueller 圆盘；允许就自然 PSL_2(Z) 作用于此类曲面的 PSL_2(R)-轨道以分数 Dehn 扭曲作出解释。在许多情形下，矩形镶嵌可恢复相应代数曲线的方程，于多重测地线镶嵌导出的双曲结构与代数方程间架起桥梁；换言之，解决了此类曲线的单值化问题。事实上它还给出了对无穷多族曲线进行单值化的方案。我们也讨论了一些数论方面的结果。