翻转陀螺尖的运动：陀螺平衡条件与稳定性

我们重新考察一个非常经典的问题：翻转陀螺（tippe top）在水平桌面上的自旋行为。分析针对偏心球版翻转陀螺，假设滑动摩擦满足修正库仑定律，该定律是接触点滑移速度 $\vec v_P$ 的连续函数，并在 $\vec v_P=0$ 时为零。我们研究由 Moffatt 与 Shimomura 发现对快速自旋的硬煮蛋成立的陀螺平衡条件（GBC）对翻转陀螺翻转现象的相关性。引入变量 $\xi$ 使 $\xi=0$ 对应 GBC，并分析 $\xi$ 的行为。与自旋蛋不同，翻转陀螺初始不满足 GBC。但我们从模拟发现，对那些将翻转的翻转陀螺，GBC 会很快近似满足。表明 GBC 与几何将翻转陀螺分为三类：I 类翻转陀螺无论给多大自旋都绝不翻倒；II 类表现完全翻转；III 类在充分快速自旋时倾向于翻转到某倾角 $\theta_f$ 使得 $\theta_f<\pi$。翻转陀螺的自旋运动存在三个定常态。给出新的稳定性判据，我们依初始自旋速度 $n_0$ 检验这些态的稳定性，并得到 II 类翻转陀螺翻至完全倒立位置所需的初始自旋临界值 $n_c$。