吃豆人形状的 Monge-Ampère 问题

我们证明，对于非凸的吃豆人集合 $P\subset {\bf R}^2$，其极值函数 $V_P$ 的 Monge-Ampère 密度在沿直线趋近 $P$ 的顶点 $p$ 时趋于一个有限极限，但该极限值可能随直线而变。另一方面，沿与 $p$ 相切的方式趋近时，Monge-Ampère 密度变为无界。这在一定程度上模仿了 Sigurdsson 与 Snaebjarnarson 的两个四分之一圆盘并集集合 $S$ 的 Monge-Ampère 密度的行为。我们也用初等方法重新得到了他们关于 $V_S$ 的公式。