图中的矩

设$G$是一个连通图，顶点集为$V$，并设{\em 权函数}$\rho$为每个顶点分配一个非负数。那么，$G$在顶点$u$处的{\em $\rho$-矩}定义为$M_G^{\rho}(u)=\sum_{v\in V} \rho(v)\dist (u,v)$，其中$\dist(\cdot,\cdot)$表示距离函数。将这些数相加，我们得到{\em $G$的$\rho$-矩}：$$M_G^{\rho}=\sum_{u\in V}M_G^{\rho}(u)=1/2\sum_{u,v\in V}\dist(u,v)[\rho(u)+\rho(v)].$$ 这个参数推广了或与一些著名的图不变量密切相关，例如当每个$u\in V$有$\rho(u)=1/2$时的{\em Wiener指标}$W(G)$，以及当$\rho(u)=\delta(u)$（顶点$u$的度数）时得到的{\em 度距离}$D'(G)$。在本文中，我们推导了一些精确公式，用于计算通过一种称为嫁接积的一般操作得到的图的$\rho$-矩，该操作可以看作是层次积的推广，公式用其因子的相应$\rho$-矩表示。因此，我们提供了一种方法，用于获得对每个$\rho$都具有相同$\rho$-矩（因此具有相等的平均距离、Wiener指标、度距离等）的不同构的图。当因子是树和/或圈时，线性代数技术使我们能够给出其积的度距离的公式。