度分布矩的次线性时间估计：退化性的联系

我们重新审视估计无向图度分布矩这一经典问题。考虑具有 $n$ 个顶点的无向图 $G=(V,E)$，并定义（对 $s > 0$）$\mu_s = \frac{1}{n}\cdot\sum_{v \in V} d^s_v$。我们的目标是在次线性时间内以 $(1+\epsilon)$ 的乘法误差（对于给定的近似参数 $\epsilon>0$）估计 $\mu_s$。我们考虑的稀疏图模型允许访问：均匀随机顶点、对任意顶点度的查询，以及对任意顶点邻居的查询。对于 $s=1$（平均度）的情况，任意常数 $\epsilon$ 下 $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ 次查询已足够（Feige, SICOMP 06 与 Goldreich-Ron, RSA 08）。Gonen-Ron-Shavitt（SIDMA 11）通过设计执行 $\widetilde{O}(n^{1-1/(s+1)})$ 次查询的算法，将结果推广到所有整数 $s > 0$。我们为这一问题设计了一个全新的、显著更简单的算法。在最坏情况下，它精确匹配 Gonen-Ron-Shavitt 的界，且证明简单得多。更重要的是，该算法的运行时间与 $G$ 的退化性相关。这（本质上）是一个诱导子图的最大密度。对于退化性至多为 $\alpha$ 的图族，其查询复杂度为 $\widetilde{O}\left(\frac{n^{1-1/s}}{\mu^{1/s}_s} \Big(\alpha^{1/s} + \min\{\alpha,\mu^{1/s}_s\}\Big)\right) = \widetilde{O}(n^{1-1/s}\alpha/\mu^{1/s}_s)$。因此，对于有界退化图类（包括所有 Minor 封闭族和优先连接图），我们可以用 $\widetilde{O}(1)$ 次查询估计平均度，并用 $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ 次查询估计度分布的方差。这是对先前最坏情况界的重大改进。我们的关键见解在于设计了一个当 $G$ 没有大型稠密子图时方差较小的 $\mu_s$ 估计量。