模双曲线与 Beatty 序列

在 $\alpha$ 的一定条件下，我们得到了关于 $\max\{m,\tilde{m}\}$ 的界，其中 $m,\tilde{m} \in \mathbb{Z}\cap[1,p)$，$p$ 为素数，$z$ 不被 $p$ 整除，$m\tilde{m}\equiv z\bmod p$，且 $m$ 属于某个固定的 Beatty 序列 $\{ \lfloor n\alpha+\beta \rfloor : n\in\mathbb{N} \}$。证明使用了 Banks 与 Shparlinski 的一种方法。作为中间步骤，我们得到了有限序列 $0,\, \operatorname{e}_p(y\overline{1}), \operatorname{e}_p(y\overline{2}), \ldots, \operatorname{e}_p(y(\overline{p-1}))$ 的离散周期自相关的平均界，其中 $\operatorname{e}_p(t) = \exp(2\pi i t/p)$ 且 $m\overline{m} \equiv 1\bmod p$。后者通过改进 Kloosterman 的一种方法实现。