m-Wythoff Nim 的限制与 p-互补 Beatty 序列

固定一个正整数 m。m-Wythoff Nim 游戏（A.S. Fraenkel, 1982）是 Wythoff Nim（即“将死皇后”）的一个著名推广。其 P-位置集可由一对递增的非负整数序列表示。众所周知，这些序列是所谓的互补齐次 Beatty 序列，即它们满足 Beatty 定理。对于正整数 p，我们将 m-Wythoff Nim 的解推广到一对 p-互补的——每个正整数恰好出现 p 次——齐次 Beatty 序列 a = (a_n)_{n∈M} 和 b = (b_n)_{n∈M}，它们对所有 n 满足 b_n - a_n = mn。由后一性质，我们证明 a 和 b 在所有非降 p-互补序列对中是唯一的。我们证明这样的对可以划分为 p 对互补的 Beatty 序列。我们的主要结果是，{{a_n, b_n} | n∈M} 表示了 m-Wythoff Nim 的三个新“p-限制”的解——其中一个是针对“车类”走法的阻挡策略。C. Kimberling 已证明 Wythoff Nim 的解满足互补方程 x_{x_n} = y_n - 1。我们将此公式推广到我们的序列对 a 和 b 所满足的某个“p-互补方程”。我们还展示了可以通过三种所谓的“最小排除”算法得到我们新的序列对。本文以 Aviezri Fraenkel 的附录结束。