松弛Wythoff博弈具有所有Beatty解

我们找到了三类减法游戏的P位置作为互补Beatty序列对出现的条件。第一款游戏由Fraenkel提出，第二款是将第一款游戏推广至非单调情形。我们表明，若满足某不等式，则第二款游戏的P位置可由Fraenkel论文中的递推关系推得。若已知P位置为互补Beatty序列对，则证明该不等式是必要的，并显式给出了满足此不等式的无理数族。我们强调了文献中若干具有斜率为该族中无理数的互补Beatty序列对作为P位置的游戏。我们提出的第三款游戏是新颖的，并表明在任何情形下其P位置均可由同一递推关系推得。研究表明，任意互补Beatty序列对均可作为该族中某游戏的P位置出现。我们还提供了近年来该领域出现的一些逆问题的背景，特别是Duch\^ene-Rigo猜想。本文给出了2011年BIRS研讨会上提出的Fraenkel问题（Duch\^ene-Rigo猜想的一个修正）的解。