模形式与IIB型超弦理论的$SL(2, {\mathbb Z})$协变性

具有常数复模的IIB型超弦理论有效作用量在低能展开中出现的局域高阶导数相互作用通常会以$q_U$个单位破坏IIB超引力的$U(1)$ R对称性。这些相互作用的系数在$SL(2, {\mathbb Z})$变换下作为非全纯模形式变换，具有全纯与反全纯权$(w,-w)$，其中$q_U=-2w$。本文利用$SL(2, {\mathbb Z})$协变性与超对称性，确定了模空间上的一阶微分方程，这些方程关联了在低能展开低阶出现的BPS保护的最大$U(1)$破坏相互作用类的模形式系数。这些是线性化近似下形式为$d^{2p} \mathcal{P}_n$的BPS相互作用的模依赖系数，其中$\mathcal{P}_n$是$n$个场的乘积，其维数为$=8$且$q_U=8-2n$，而$p=0$、$2$或$3$。这些一阶方程意味着系数满足模空间上的$SL(2, {\mathbb Z})$协变拉普拉斯本征值方程，其解包含关于超弦振幅的微扰与非微扰贡献的信息。对于$p=3$且$n\ge 6$，存在两个独立的模形式，其中之一具有为零的树级贡献。对涉及任意数目复模外涨落的$U(1)$破坏过程的超振幅分析，导出了系数模形式所满足的一阶微分关系与拉普拉斯方程的图示推导。将其与关联不同$n$值振幅的$SL(2, {\mathbb Z})$协变软轴子-伸缩子极限相结合，确定了绝大多数模不变系数，仅剩一个未定常数。