与富克斯群和高阶艾森斯坦级数相关的模戴德金符号

设 $E(z,s)$ 为模群 $SL(2,\mathbb{Z})$ 的非全纯艾森斯坦级数。经典的 Kronecker 极限公式表明，$E(z,s)$ 在 $s=1$ 处洛朗展开的第二项本质上是戴德金 eta 函数的对数。该 eta 函数是一个权 $1/2$ 模形式，戴德金用戴德金和表示了它的乘子系。基于 Goldstein 的工作，我们将这些结果从模群推广到更一般的富克斯群 $\Gamma$。eta 函数的类似物具有一个乘子系，可用映射 $S:\Gamma \to \mathbb{R}$ 表示，我们称之为模戴德金符号。借助极限公式，我们获得了这些符号的详细性质。将通常的艾森斯坦级数与从 $\Gamma$ 到 $\mathbb{C}$ 的加性同态的幂扭曲，产生高阶艾森斯坦级数。这些级数享有 $E(z,s)$ 的许多性质，尽管它们具有更复杂的自守条件。它们满足 Kronecker 极限公式并产生高阶戴德金符号 $S^*:\Gamma \to \mathbb{R}$。作为我们一般结果的应用，我们证明了与亏格一同余群 $\Gamma_0(N)$ 相关的高阶戴德金符号是有理数。