Kronecker 极限函数与 Rohrlich-Jensen 公式的推广

1984 年 Rohrlich 证明了 Jensen 公式的模形式类比。在某些条件下，Rohrlich-Jensen 公式将 $\text{\rm PSL}(2,\ZZ)$ 模形式 $f$ 的对数范数 $\log \Vert f \Vert$ 的积分用取值于 $f$ 的除子上的 Dedekind Delta 函数表示。近期，Bringmann-Kane 将 Rohrlich-Jensen 公式重新解释为 $\log \Vert f \Vert$ 的正则化内积，并将结果推广以计算 $\log \Vert f \Vert$ 与相当于 $\text{\rm PSL}(2,\ZZ)$ 的 Hauptmoduli 的幂的正则化内积。在本文中，我们重访 Rohrlich-Jensen 公式并证明它可被视为两个 Poincar\'e 级数的特殊值的正则化内积，其中一个为 Niebur-Poincar\'e 级数，另一个为 Laplacian 的预解核。该正则化内积可视为一种 Maass-Selberg 关系。以此形式，我们通过采用与预解核相关的一种 Kronecker 极限公式，发展了联系于任意具有一个尖点的第一类 Fuchsian 群 $\Gamma$ 的 Rohrlich-Jensen 公式。我们给出主要结果的两个例子：第一，当 $\Gamma$ 为全模群 $\text{\rm PSL}(2,\ZZ)$ 时，从而重证了 \cite{BK19} 中的定理；第二，当 $\Gamma$ 为 Atkin-Lehner 群 $\Gamma_{0}(N)^+$ 时，其中对特定亏格零、一和二的能级给出了显式计算。